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【WS】助けて二十里先生!~10枚中2枚がCXでキャンセルできる確率~

先日、ショップ大会に参加していてこのようなことがありました。

使用デッキはミルキィ警察デッキ。相手のターンでこちら3-3。相手のフロントアタックで打点が4点と言われた。山札は10枚、内CXは2枚。
その時はなんとなくキャンセルできるんじゃないかなと思って打ちませんでしたが、結果通って負けました。
まあ単純に考えればCXは5枚に1枚の割合なのでキャンセルしなくても不思議ではない?
この試合の後なんとなくずっと気になっているので今回の判断は妥当だったのか計算してみます。
計算に用いるのは中学~高校1年の数学の知識。数学の苦手な自分でもなんとかできる…はず。

まずはデッキの並び方

まず10枚のカード(CX2枚、それ以外8枚)の並び方を考えてみましょう。
今回はCX2枚とそれ以外の8枚で1枚ずつ区別はしないことにします。キャンセルするかしないかだけなので1枚1枚が何のカードかなんて関係ないですしね。
CXを● それ以外を○とすると例えばこんな並び方なら今回の4点はキャンセルできます

←デッキトップ ○○●○○○○●○○ →アンダー

上から3枚目がCXなのでめでたくキャンセルできます。ではこの●2個と○8個の並べ方は何通りでしょうか?
考え方はいくつかありますが、今回は1番単純に
「●を10か所入れるところがあり、その内の2か所に入れる」
というように考えます。言いかえれば「10か所から2か所選ぶ」です。つまり組み合わせの式が使えますので
10=45通り
となります。
(重複順列なら10!/(8!×2!)で同じ式になります)

②キャンセルできる確率を出してみよう

それでは本題
「10枚のカードの内CXが2枚ある時、4点をキャンセルできる確率は?」
を解いてみましょう。
このとき1枚目にCXがある時が何通りで2枚目にCXがあるとき…と場合分けして1つ1つ解いても良いのですが、ここは余事象の考え方を使いましょう。
今回の問題文を言いかえればこうなります
「デッキに10枚カードがある時CXが少なくとも1枚は上から4枚の中にある確率をもとめよ」
となります。このような問題文に「少なくとも」とある時はそうでない方を数えたほうが早い場合が多いです。
だから今回は逆にCXが2枚とも5枚目以降にある並び方が何通りあるか数えましょう。

←デッキトップ ○○○○  ○●○○●○ アンダー→
          CX以外   のこりの6枚 

これは後ろの6ヶ所の内2か所●を入れる場所を選ぶということで
=15通り
となります。よって
(全ての並べ方)―(前4枚にCXが1枚も無い並べ方)=(前4枚に少なくとも1枚はCXがある並べ方)
45-15=30通り
これで上から4枚のうち少なくとも1枚はCXがある並び方が30通りと求まりましたので、4点をキャンセルできる確率は
30/45=2/3=0.666…≒0.67
つまり答えは
「約67%でキャンセルできる」
となりました。つまり今回私は2/3で勝てるギャンブルに負けたわけです。あ~あ。

③じゃあ二十里先生をうつべきだった?

では先生をうっていればキャンセルできる確率がもしかしたら上がった?と言うわけで先生をうった場合のキャンセルできる可能性を考えてみましょう。
えっ結果はわかりきってる?まあまあわかっていても一応計算して確かめてみましょうよ。

まずは先生のテキスト確認
「ナルシスト 二十里先生 」
【自】あなたがこのカードの『 助太刀 』を使った時、あなたは自分の山札の上から3枚を、控え室に置く。
【起】● 助太刀2000 レベル1 [① 手札のこのカードを控え室に置く]

つまり今回の場合デッキの上から3枚を落とせると言う事です。この行為がキャンセル率に変化を起こすのか。計算によって確かめましょう。今回は場合分けしてそれぞれキャンセルできる確率を考えます。

)先生をうって1枚もCXが落ちないで4点をキャンセルできる確率
最初に先生でデッキを削って1枚もCXが落ちなかったうえにキャンセルするするという決まったらWRYYYYYな時ですね。
上から3枚のうち1枚もCXが無い時の確率をまず求めます。
後ろ7枚にCXが2枚ともある並び方は
=21通り
ですので、先生をうった時CXが1枚も落ちない確率は
21/45
となります。
そのうえでキャンセルできる確率を考えましょう。残り7枚で上から4枚の内にCXが1枚はないといけませんので「デッキ7枚の内少なくとも1枚はCXが上から4枚以内にある確率」は
②と同様に考えて、式だけ記すと
1-(/)=6/7
となります。よって
「先生をうってCXが1枚も落ちず、キャンセルする確率」
(先生で1枚もCXが落ちない確率)×(残りの7枚で4点をキャンセルする確率)
=21/45×6/7
=2/5=0.4=40%

となりました。

)先生をうって1枚CXを落としちゃったけど残りの1枚で4点をキャンセルできる確率
先生をうって1枚CXが落ちゃってやべぇってなったけど無事4点をキャンセルできる確率を求めてみましょう。
この状況をつくるために、始めに上から3枚のうち1枚がCX、後ろの7枚の内1枚がCXとなる並び方が何通りあるか求めてみます。
これは前の3か所からCXを入れる1か所、後ろの7か所からCXを入れる1か所を選ぶということになりますので
×=21通り
となります。よって前3枚のうち1枚、後ろ7枚のうち1枚CXがある確率は
21/45
と求まります。
そのうえで後ろ7枚のうち1枚がCXの状態でキャンセルできる確率は、これは前4枚の内1か所にCXがあればいいのでそのまま確率を求めて
/=4/7
となります。よって「先生で1枚CXが落ちたうえでキャンセルをする確率」
(前3枚のうち1枚、後ろ7枚のうち1枚CXがある確率)×(7枚中1枚CXでキャンセルする確率)
=21/45×4/7
=4/15=0.266≒0.27→約27%

となります。

)先生うったらCXが2枚とも落ちてキャンセルする確率
キャンセル不可能なので0%
(CXが2枚とも落ちる可能性は3/45で約7%)

先生をうったうえでキャンセルできる可能性は)))を合計すればいいので
2/5+4/15+0=2/3=0.666≒0.67→約67%
となりました。
つまり結論は
「先生をうってもうたなくてもキャンセルできる確率は変わらない」
となりました。むしろコストとハンドを使う分撃たない方が良いと言う事になります。
計算するまでもなく当たり前だろwと言われちゃいそうですね。
でもまあキャンセルした後なんとなく「連続でCXは来ないだろう」なんて思ってキャンセルした後先生をうつことはおおいですね。
まあ、そもそも先生のヴァイスでの役割は集中がわりに使うというのが正しいのでキャンセルするために先生を使うという問題の前提が間違っていますね。
キャンセル率を上げるというのであれば
「遠山 咲 」
を使うのが正しいです。こちらは確実にキャンセル率を上げてくれます。

しかしここまでの計算は全てのカードの位置が完全にランダムの時のお話。
実際には例えば、CXをリフレッシュ時に差し込んで均等になるようにするとかした場合は当然、確率が変わってしますわけです。相手のデッキをシャッフルする時にCXをボトムになるようにきるなんてもっての他です。
だからフロアルールにあるようにシャッフルはランダムになるようにしっかりと行ないましょう!
これが本当の結論です。

※なお今回の計算結果に間違いがあるかも知れないです。
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テーマ : ヴァイスシュヴァルツ
ジャンル : ゲーム

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